Векторное описание движения является полезным, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения. Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами – проекциями векторов.

Проекцией вектора на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между направлениями вектора и выбранной координатной оси.

На левом чертеже показан вектор перемещения, модуль которого 50 км, а его направление образует тупой угол 150° с направлением оси X. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось X:

s_x  =  s · cos(α)  =  50 км · cos( 150°)  =  –43 км

Поскольку угол между осями 90°, легко подсчитать, что направление перемещения образует с направлением оси Y острый угол 60°. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось Y:

s_y  =  s · cos(β)  =  50 км · cos( 60°)  =  +25 км

Как видите, если направление вектора образует с направлением оси острый угол, проекция положительна; если направление вектора образует с направлением оси тупой угол, проекция отрицательна.

На правом чертеже показан вектор скорости, модуль которого 5 м/с, а направление образует угол 30° с направлением оси X. Найдём проекции:

υ_x  =  υ · cos(α)  =  5 м/c · cos( 30°)  =  +4,3 м/с
υ_y  =  υ · cos(β)  =  5 м/с · cos( 120°)  =  –2,5 м/c

1. Чем удобно векторное описание движения?
2. Какое неудобство есть при использовании векторов?
3. Как упрощают вычисления при векторном описании движения?
4. Проекция вектора всегда является скаляром, поскольку она равна ...
5. В примере на чертеже символом s обозначен ...
6. Этот вектор расположен именно так, что ...
7. Произведя первое вычисление, мы подсчитаем ...
8. Почему между вектором s и второй осью угол именно 60°?
9. Произведя второе вычисление, мы подсчитаем ...
10. Какое обобщение мы делаем после рассмотрения двух примеров?

Гораздо проще находить проекции векторов на оси, если проецируемые векторы параллельны или перпендикулярны выбранным осям. Обратим внимание, что для случая параллельности возможны два варианта: вектор сонаправлен оси и вектор противонаправлен оси, а для случая перпендикулярности есть только один вариант.

Проекция вектора, перпендикулярного оси, всегда равна нулю (см. s_y и a_y на левом чертеже, а также s_x и υ_x на правом чертеже). Действительно, для вектора, перпендикулярного оси, угол между ним и осью равен 90°, поэтому косинус равен нулю, значит, и проекция равна нулю.

Проекция вектора, сонаправленного с осью, положительна и равна его модулю, например, s_x = +s (см. левый чертёж). Действительно, для вектора, сонаправленного с осью, угол между ним и осью равен нулю, и его косинус «+1», то есть проекция равна длине вектора: s_x = x – x_o = +s .

Проекция вектора, противонаправленного оси, отрицательна и равна его модулю, взятому со знаком «минус», например, s_y = –s (см. правый чертёж). Действительно, для вектора, противонаправленного оси, угол между ним и осью равен 180°, и его косинус «–1», то есть проекция равна длине вектора, взятой с отрицательным знаком: s_y = y – y_o = –s .

На правых частях обоих чертежей показаны другие случаи, когда векторы параллельны одной из координатных осей и перпендикулярны другой. Предлагаем вам убедиться самостоятельно, что и в этих случаях тоже выполняются правила, сформулированные в предыдущих абзацах.

11. В каком случае вычисление проекций можно сделать устно?
12. При параллельности вектора и оси встречаются ...
13. При перпендикулярности вектора и оси бывает ...
14. Если угол между вектором и осью прямой, то проекция ...
15. Это обусловлено тем, что для угла 90° его ...
16. Если угол между вектором и осью равен 0°, то проекция ...
17. Проекция вектора, сонаправленного с осью, положительна и равна его модулю, так как ...
18. Если угол между вектором и осью равен 180°, то проекция ...
19. Проекция вектора, противонаправленного оси, отрицательна и равна его модулю с отрицательным знаком, так как ...
20. Все четыре последних изображённых вектора ...