При решении задач бывает полезно применять декартовы координаты для определения проекции перемещения: s_x = x – x_o  (см. § 12-е). Рассмотрим это на примере задачи про безопасный обгон на автодороге.

Задача. Легковой автомобиль едет со скоростью 20 м/с на расстоянии 15 метров за грузовым, скорость которого 16,5 м/с. Есть также встречный автобус, едущий со скоростью 25 м/с. При каком наименьшем расстоянии до автобуса водителю легковушки можно начинать обгон, если при его завершении надо быть впереди грузовика на 20 метров?

Решение. Все транспортные средства движутся равномерно и прямолинейно, поэтому можно воспользоваться тождественным преобразованием формулы для скорости такого движения (см. § 12-д):

Проецируя все шесть векторов на координатную ось, а также считая начальный момент времени t_o нулём, получим скалярные уравнения:

Применив формулу  s_x = x – x_o , мы получим равенства с координатами:

Расположив начало координат на дороге под грузовиком, мы получим:

После обгона координата легковой машины сравняется с координатой автобуса, и при этом координата грузовика будет на 20 метров меньше:

Раскрывая скобки и упрощая все равенства, получим уравнения (***) :

Из первых двух уравнений найдём время завершения обгона:  t = 10 с,
а из последнего найдём начальную координату автобуса:  x_oа = 435 м.
Зная, что начальная координата легкового автомобиля:  x_oл = –15 м,
подсчитаем расстояние от легкового автомобиля до автобуса:  l = 450 м.

1. Наряду с векторным описанием движения, можно ...
2. Уравнение Sx = X – Xo предназначено ...
3. В начале наблюдения грузовик находится впереди легковушки ...
4. Из транспортных средств быстрее всех едет ...
5. Легковому автомобилю, чтобы обгон являлся безопасным ...
6. На чертеже изображены транспортные средства, которые ...
7. Скалярные уравнения мы получили из векторных, ...
8. При завершении обгона верно равенство: Xл = Xа, что означает: ...
9. А также верно Xг = Xа – 20, что означает: ...
10. Дистанция до автобуса, когда обгон безопасен, равна ...

Взгляните на три уравнения, описывающие движения транспортных средств (уравнения ранее помечены тремя звёздочками *** в скобках). С точки зрения алгебры, эти уравнения можно обобщить в виде уравнения равномерного прямолинейного движения:

Покажем теперь, что решение задач, основанное на применении этого уравнения, не будет зависеть от выбора нами начала отсчёта координат. Переместим начало координат из-под грузовика в легковую машину и обобщённое уравнение, записанное в рамке, применим 3 раза:

Подставим в уравнения новые начальные координаты и новые проекции скоростей транспортных средств относительно легковой машины:

После обгона координата грузовика станет на 20 м меньше координаты легковой машины, а координата автобуса сравняется с ней, став нулём.

Из второго уравнения мы найдём время завершения обгона:  t = 10 с,
а из третьего уравнения – начальную координату автобуса:  x_oа = 450 м.
Вспомнив, что координаты мы отсчитываем от легкового автомобиля (ведь начало отсчёта движется вместе с ним), сразу имеем ответ: 450 м.

Итак, начало координат можно помещать в любой удобной точке, как связанной с условно неподвижным телом, так и с условно движущимся. Это не оказывает влияния на результаты решения задач.

11. Тремя звёздочками помечены три равенства, ...
12. Равенство X = Xo + Vx·t является обобщённой записью ...
13. В этом уравнении на переменную «момент времени» умножается ...
14. Далее мы покажем, что результат вычислений по уравнению в рамке ...
15. Рассмотрим ещё раз решение прежней задачи, но ...
16. Равенства с числовыми значениями мы получим, если ...
17. После обгона Xг = Xл – 20, что означает: ...
18. Координата легковушки всё время равна нулю, и в конце обгона ...
19. Вычисления координаты автобуса сразу дают конечный ответ, поскольку ...
20. Рассмотрев два варианта решения, мы подтвердим уже известный нам факт: ...